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편미분방정식 modeling(Navier-stokes)
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[목차]
1. 이론적 배경
2. Navier-Stokes equations modeling
3. 편미분방정식 풀이(in detail) & 경계조건 and/or 초기조건 설정
4. 해에 대한 공학적 해석
이론적 배경
나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)는 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 프랑스 물리학자 Claude-Louis Navier (1785–1836)와 영국 수학자 George Gabriel Stokes (1819–1903)가 뉴턴의 운동 제2법칙(F〓ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 지식이며, 오일러 방정식을 확장한 것이다. 날씨 모델, 해류, 관에서 유체 흐름, 날개 주변의 유체흐름 그리고 은하 안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있다.
또한, 이 방정식은 순수 수학적인 관점으로도 매우 흥미로운 주제이다. 광범위한 응용범위에도 불구하고, 이 방정식의 3차원 해가 항상 존재한다는 것은 아직 그 어떤 수학자도 증명하지 못했기 때문이다. 이 해의 존재성을 증명하는 것을 Navier–Stokes existence and smoothness 문제라고 하며, 클레이 수학연구소에서 백만 달러의 상금을 내건 소위 밀레니엄 문제라고 알려져 있는 7개의 문제 중 하나이다. 구체적으로, 나비어–스톡스 밀레니엄 문제는 다음의 명제를 증명하거나 혹은 명제가 성립하지 않도록 만드는 반례를 찾는 것이다.
Navier-Stokes equations modeling
우선 유체운동을 기술하는 역학적 방정식인 운동량 방정식은 뉴턴 제2법칙을 입자에 적용하면 구할수 있다. 운동량 방정식의 미분 형태를 얻기 위해 질량 인 미소 유체입자에 뉴턴 제 2법칙을 적용한다. 그러면 유한한 시스템에 대한 뉴턴 제2법칙이 아래와 같음을 상기할수 있다.
여기서 시스템의 선형 운동량 는 다음과 같이 표현할 수 있다.
그러면 질량 인 미소한 시스템에 대한 뉴턴 제 2법칙은 으로 나타낼수 있고, 어떤 속도장에서 운동하는 질량 인 유체요소의 가속도는
이므로 뉴턴 제2법칙은
으로 표현 가능하다.
[문서정보]
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